Сумма бесконечно убывающей прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с увеличением количества её членов до бесконечности стремится к конкретному значению. Найти сумму можно, зная первый член геометрической прогрессии b₁ и знаменатель q.

Если знаменатель q заключён между -1 и 1 и не равен 0, сумма всех членов бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле \[ S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} \] при условии |q| < 1 и q ≠ 0.

Где применяется. Сумма бесконечно убывающей прогрессии нужна в физике (радиоактивный распад, затухающие колебания), экономике (дисконтирование бесконечного потока платежей) и при решении задач на числовые ряды в школе и вузе.

Для чего нужно. Калькулятор по первому члену b₁ и знаменателю q находит сумму всех членов геометрической прогрессии, если |q| < 1 и q ≠ 0. При 0 < q < 1 члены убывают по модулю; при отрицательном q с |q| < 1 ряд также сходится.

Пример. При b₁ = 1 и q = 0.5 сумма равна S = 1 / (1 - 0.5) = 2. Частичные суммы: 1, 1.5, 1.75, 1.875, ... постепенно приближаются к 2.

Интересный факт. Знаменый парадокс Зенона о никогда не достигаемой цели описывает именно бесконечно убывающую прогрессию: сумма времени всех этапов движения конечна, хотя этапов бесконечно много.