Уравнение второго порядка

Онлайн калькулятор решает квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0. Введите коэффициенты a, b и c - калькулятор вычислит дискриминант, найдет корни уравнения (включая комплексные при отрицательном дискриминанте), покажет пошаговое решение с формулами и построит график параболы.

Квадратное уравнение имеет общий вид \[ ax^2 + bx + c = 0 \] , где a, b, c - числовые коэффициенты, a ≠ 0. Дискриминант определяется по формуле \[ D = b^2 - 4ac \] . Корни уравнения находятся как \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] .

Квадратное уравнение - это алгебраическое уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c - числовые коэффициенты и a не равно нулю. Графически оно выражается кривыми второго порядка (параболой, гиперболой, эллипсом и др.), которые изучали еще в древней Элладе - ученик Евдокса Менехм исследовал свойства конических сечений.

Формулы решения квадратного уравнения:

Дискриминант \[ D = b^2 - 4ac \] . Корни уравнения \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] . Если D > 0 - два различных вещественных корня, если D = 0 - один повторный корень, если D < 0 - два комплексных сопряженных корня.

Теорема Виета связывает корни и коэффициенты уравнения: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] , \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \] .

Где применяются квадратные уравнения:

Решение уравнений второго порядка востребовано в самых различных сферах. В астрономии выяснилось, что планеты движутся вокруг звезд по эллиптическим траекториям - по такой орбите вращается вокруг Солнца наша Земля. В военном деле оказалось полезным знание того, что снаряды летят по параболической кривой. Уравнениями второго порядка описываются многие физические и инженерные процессы - от расчета фокусных расстояний линз в оптике до нахождения точки безубыточности в экономике.

Интересный факт: специалисты, выводящие спутники на околоземную орбиту, обеспечивают им первую космическую скорость - и спутник движется по окружности. Если скорость увеличить, орбита станет эллиптической. При достижении второй космической скорости аппарат уходит по параболической траектории, а при еще большей скорости кривая движения превращается в гиперболу.