Вычислить площадь фигуры в полярных координатах

Онлайн калькулятор поможет вычислить площадь фигуры в полярных координатах, Вам пригодятся навыки построения графиков функций в полярной системе координат.

Площадь фигуры в полярных координатах — это площадь сектора, ограниченного двумя лучами φ = α и φ = β и кривой r = r(φ). В полярной системе точка задаётся расстоянием r от полюса и углом φ; такие координаты удобны для окружностей, розы, кардиоиды, спиралей и других фигур с центральной симметрией.

Площадь вычисляется по формуле S = (1/2) ∫_α^β r²(φ) dφ. Коэффициент 1/2 появляется из формулы площади сектора круга: маленький участок между углами φ и φ + dφ имеет площадь примерно (1/2) r²(φ) dφ. Калькулятор считает интеграл численно по методу Симпсона, поэтому подходят любые «хорошие» выражения для r(φ).

Что можно посчитать: площадь круга r = R на полном обороте [0, 2π]; площадь одной петли розы r = cos(n·φ); площадь кардиоиды r = 1 + cos(φ); площадь между спиралью Архимеда и полюсом на заданном угле; площадь лемнискаты, улитки Паскаля и других классических кривых.

Как пользоваться: введите формулу радиуса (угол — переменная phi или φ, число π — pi), укажите границы угла «φ от» и «φ до», нажмите «Вычислить». После расчёта под результатом строится график кривой r(φ) в декартовой плоскости (x = r cos φ, y = r sin φ). Формат вывода площади можно выбрать в селекте «Округление» — обыкновенная или десятичная дробь с нужным числом знаков.