Метод половинного деления

Онлайн калькулятор для решения уравнений (алгебраических и трансцендентных) методом половинного деления (метод дихотомии) один из приближенных методов (числовых методов).

Можно также указывать параметры метода, например интервал, на котором следует искать корень (интервал изоляции корня): 1<=x<=4 .

О методе половинного деления (дихотомии)

Для чего нужен метод. Метод половинного деления служит для численного решения уравнений вида f(x) = 0: он находит (приближённо) один корень на заданном отрезке. Его используют, когда корень нельзя выразить формулой (алгебраически или через элементарные функции) или когда проще получить число с заданной точностью, чем искать точное выражение. Метод применим к любым непрерывным функциям: многочленам, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и их комбинациям.

Почему он работает. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах принимает значения разных знаков (f(a)·f(b) < 0), по теореме Больцано–Коши между a и b есть хотя бы одна точка, в которой f(x) = 0. Метод сужает этот отрезок так, что корень всегда остаётся внутри, и при каждом шаге длина отрезка уменьшается в два раза.

Как устроен алгоритм.

1. Задают интервал изоляции корня [a, b], на котором f(a) и f(b) имеют разные знаки (иначе метод применять нельзя).
2. Вычисляют середину отрезка: c = (a + b) / 2 и значение f(c).
3. Определяют, в какой половине лежит корень:
   • если f(a)·f(c) ≤ 0, корень в левой половине [a, c] — полагают b = c (правый конец сдвигают к середине);
   • иначе корень в правой половине (c, b] — полагают a = c (левый конец сдвигают к середине).
4. Повторяют шаги 2–3 для нового отрезка. После каждой итерации длина отрезка уменьшается вдвое.
5. Останавливаются, когда достигнута нужная точность: либо |b − a| меньше заданного допуска (малая длина отрезка), либо |f(c)| меньше допуска (значение в середине близко к нулю). В качестве корня берут c или середину текущего отрезка.

Плюсы метода: всегда сходится при выполнении условия знаков; не требует производных; реализация проста. Минусы: сходится медленнее, чем методы Ньютона или секущих; нужно заранее знать отрезок с одним корнем.