Решение уравнений методом Ньютона

Онлайн калькулятор для решения уравнений (алгебраических и трансцендентных) методом Ньютона (также известный как метод касательных или алгоритм Ньютона) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции.

Можно также указывать параметры метода, например интервал, на котором следует искать корень (интервал изоляции корня): 1<=x<=4 .

Для чего. Метод Ньютона (метод касательных) служит для численного решения уравнения f(x) = 0: он находит один корень (ноль функции), если задано начальное приближение x₀ близко к этому корню. Уравнение может быть алгебраическим (многочлены, степени, корни) или трансцендентным (sin, cos, exp, log и т.п.).

Что это. Это итерационный метод: по одному приближению строится следующее, пока значение f(x) не станет достаточно близко к нулю. Идея геометрическая: в точке (xₙ, f(xₙ)) к графику f(x) проводится касательная; следующее приближение xₙ₊₁ — это абсцисса пересечения этой касательной с осью Ox. Таким образом мы по шагам «подходим» к корню.

Как вычисляется. Уравнение касательной в точке (xₙ, f(xₙ)): y − f(xₙ) = f′(xₙ)(x − xₙ). Подставляя y = 0, получаем x = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ). Отсюда формула итерации:

xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f′(xₙ).

Алгоритм: задаём x₀ и точность ε; на каждом шаге вычисляем f(xₙ) и f′(xₙ) (производную берём аналитически по выражению f(x)); если |f(xₙ)| < ε — останавливаемся, xₙ считаем найденным корнем; иначе переходим к xₙ₊₁ по формуле выше. Итерации повторяют до сходимости или до достижения лимита шагов.