N-факториал

Факториал натурального числа N (обозначается N!) - это произведение всех натуральных чисел от 1 до N включительно. По определению 0! = 1. Калькулятор вычисляет точное значение факториала для любого целого неотрицательного числа, а также показывает количество цифр в результате и количество нулей на конце (траллинг-нули).

Определение и формула

Факториал числа N (записывается N!) - это произведение всех натуральных чисел от 1 до N:

\[N! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times N\]

По определению 0! = 1. Это соглашение необходимо для корректной работы формул комбинаторики, например числа сочетаний \[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] при k = 0 или k = n. Рекуррентная формула факториала: \[N! = N \times (N-1)!\]

Нули на конце факториала

Количество нулей на конце N! определяется формулой Лежандра - подсчитывается, сколько раз число 5 входит множителем в произведение 1 x 2 x ... x N:

\[z(N!) = \left\lfloor \frac{N}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{N}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{N}{125} \right\rfloor + \cdots\]

Каждый нуль на конце числа появляется при умножении на 10 = 2 x 5. Двоек в факториале всегда больше, чем пятёрок, поэтому достаточно считать только множители 5. Числа 25, 125, 625 и т.д. вносят дополнительные пятёрки.

Где используется факториал

Факториал - одно из ключевых понятий комбинаторики. Число N! равно количеству перестановок N элементов. Факториал входит в формулы числа сочетаний \[C_n^k\], размещений \[A_n^k\], в биномиальные коэффициенты, в ряды Тейлора (\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]), в теории вероятностей, статистике и математическом анализе.

Интересные факты

Факториал растет быстрее любой экспоненты. 70! уже превышает 10¹⁰⁰ (гугол). 100! содержит 158 цифр. 1000! - это число из 2568 цифр с 249 нулями на конце. Формула Стирлинга позволяет приблизительно оценить факториал больших чисел: \[N! \approx \sqrt{2\pi N} \left(\frac{N}{e}\right)^N\]