Арифметическая и геометрическая прогрессии

Данный онлайн калькулятор рассчитывает n-ый член арифметической или геометрической прогрессии, сумму первых n членов, а также показывает первые 10 членов прогрессии. Необходимо задать один из членов прогрессии A_k, шаг (разность) d для арифметической прогрессии или знаменатель q для геометрической прогрессии, а также n.

Для арифметической прогрессии n-ый член вычисляется по формуле \[ A_n = A_1 + (n - 1) \cdot d \] , а сумма первых n членов \[ S_n = \frac{n \cdot (A_1 + A_n)}{2} \] . Для геометрической прогрессии n-ый член равен \[ A_n = A_1 \cdot q^{n-1} \] , а сумма \[ S_n = A_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] .

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему постоянного числа d, называемого разностью прогрессии. Например, 2, 5, 8, 11, 14 - арифметическая прогрессия с разностью d = 3.

Формулы арифметической прогрессии:

n-ый член вычисляется по формуле \[ A_n = A_1 + (n - 1) \cdot d \] , сумма первых n членов \[ S_n = \frac{n \cdot (A_1 + A_n)}{2} = \frac{n \cdot (2A_1 + (n-1) \cdot d)}{2} \] .

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число q, называемое знаменателем прогрессии. Например, 3, 6, 12, 24, 48 - геометрическая прогрессия со знаменателем q = 2.

Для геометрической прогрессии n-ый член равен \[ A_n = A_1 \cdot q^{n-1} \] , а сумма первых n членов (при q ≠ 1) \[ S_n = A_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] . При |q| < 1 существует сумма бесконечной прогрессии \[ S_\infty = \frac{A_1}{1 - q} \] .

Где применяются прогрессии:

Арифметическая прогрессия используется при расчете равномерного увеличения зарплаты, линейной амортизации оборудования, задачах на равноускоренное движение. Геометрическая прогрессия описывает рост населения, сложные проценты по вкладам и кредитам, радиоактивный распад, деление клеток в биологии.

Интересный факт: по легенде, юный Карл Фридрих Гаусс в школе за считанные секунды сложил все числа от 1 до 100, распознав в задаче арифметическую прогрессию. Он заметил, что сумма первого и последнего членов (1 + 100 = 101) повторяется 50 раз, и мгновенно получил ответ: S = 50 · 101 = 5050.