Решение системы линейных уравнений (СЛУ)

Онлайн-калькулятор решает системы линейных уравнений (СЛУ) методами Гаусса, Крамера, Жордана-Гаусса и обратной матрицы, а также исследует совместность. Поддерживаются системы от 2x2 до 10x10. Калькулятор показывает пошаговое решение с подробным объяснением каждого этапа, определяет тип решения (единственное, бесконечно много, нет решений).

Система линейных уравнений (СЛУ) - это набор уравнений вида \[ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \] \[ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \] \[ \vdots \] \[ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n \] В матричной форме: Ax = b, где A - матрица коэффициентов, x - вектор неизвестных, b - вектор правых частей.

Методы решения:

Метод Гаусса - приведение расширенной матрицы [A|b] к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк, затем обратная подстановка.

Метод Жордана-Гаусса (полное исключение) - приведение к единичной матрице, ответ читается непосредственно из последнего столбца.

Метод Крамера - для каждой переменной: \[ x_i = \frac{D_i}{D} \] , где D = det(A), а D_i - определитель матрицы, в которой i-й столбец заменен на b. Применим только при det(A) ≠ 0.

Метод обратной матрицы: x = A^-1 b. Обратная матрица существует только если det(A) ≠ 0.

Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ Ax = b совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы [A|b]. Если ранги равны и равны n (числу неизвестных) - решение единственно. Если ранги равны, но меньше n - бесконечно много решений.

Где применяются СЛУ: в физике при составлении уравнений равновесия, в экономике при расчете балансов, в компьютерной графике для преобразований координат, в методе конечных элементов в инженерии, в машинном обучении при обучении линейных регрессий.