Решение кубического уравнения

Довольно часто, чтобы решить ту или иную математическую задачу приходится составлять уравнение и решать его. Конечно, среди школьников самыми востребованными являются квадратные уравнения, однако довольно часто старшеклассникам приходится решать и кубические уравнения.

Кубическое уравнение имеет вид \[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \] , где значение a не может быть равным нулю. Значение x называют корнем кубического уравнения. Как правило, кубические уравнения имеют 3 корня, которые бывают комплексными или вещественными. При помощи нашего онлайн калькулятора вы сможете найти корни кубических уравнений - все, что от вас потребуется, это только ввод коэффициентов a, b, c, d в форму ниже. Калькулятор осуществляет решение по методу Виета-Кардано.

Кубическое уравнение - это алгебраическое уравнение третьей степени общего вида \[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \] , где a, b, c, d - заданные коэффициенты, причем a ≠ 0. Любое кубическое уравнение имеет ровно 3 корня (с учетом кратности) в поле комплексных чисел.

Метод Виета-Кардано - классический аналитический способ решения кубических уравнений, открытый итальянскими математиками XVI века. Метод состоит из следующих шагов:

1. Деление на старший коэффициент a - приведение к виду \[ x^3 + px^2 + qx + r = 0 \] .

2. Замена \[ x = t - \frac{p}{3} \] устраняет член с x² и дает приведенное (неполное) кубическое уравнение \[ t^3 + Pt + Q = 0 \] , где \[ P = q - \frac{p^2}{3} \] , \[ Q = r - \frac{pq}{3} + \frac{2p^3}{27} \] .

3. Вычисление дискриминанта \[ D = \left(\frac{Q}{2}\right)^2 + \left(\frac{P}{3}\right)^3 \] . Если D > 0 - один вещественный и два комплексных корня. Если D = 0 - все корни вещественные, есть кратный. Если D < 0 - три различных вещественных корня.

Где применяется решение кубических уравнений: в инженерных расчетах (определение напряжений, деформаций), в физике (движение тел, колебания), в экономике (модели оптимизации), в компьютерной графике (пересечение лучей с поверхностями), в химии (расчет pH растворов).

Интересный факт: формула Кардано была опубликована в 1545 году в книге Джероламо Кардано "Ars Magna", хотя первым ее нашел Сципион дель Ферро около 1515 года. Именно при решении кубических уравнений впервые появились комплексные числа - Рафаэль Бомбелли в 1572 году показал, что корни квадратные из отрицательных чисел можно использовать как промежуточный инструмент для получения вещественных ответов.