Разложение вектора по базису

Вектор является элементом векторного пространства. Коллинеарные векторы лежат на одной или двух параллельных прямых. Могут быть противо- и сонаправленными. Из произвольно выбранной точки в пространстве можно отложить любой вектор единственным способом.

Базис плоскости - два неколлинеарных вектора, то есть линейно независимых. Любой вектор данной плоскости выражается как линейная комбинация базисных векторов. Если на плоскости заданы два неколлинеарных вектора, то любой другой вектор, лежащий в этой же плоскости, можно разложить по первым двум, то есть по базису.

Введите n линейно независимых векторов. В поля можно вводить числа, дроби вида 1/2 или десятичные 1,4 (точка 1.4 тоже допускается). Калькулятор находит коэффициенты линейной комбинации x₁a₁ + x₂a₂ + ... + x_na_n = b, где a₁, a₂, ..., a_n - заданный базис, а b - вектор, который нужно разложить. Размерность пространства можно выбрать от 2 до 6.

Запись переводится в матричный вид \[ A \cdot x = b \], где столбцы матрицы A - базисные векторы. Решение выполняется методом Гаусса (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду). Если определитель матрицы базиса равен нулю, векторы линейно зависимы и не образуют базис.

Частые вопросы

Что значит разложить вектор по базису? Нужно найти числа x₁, x₂, ..., x_n, при которых линейная комбинация базисных векторов совпадает с заданным вектором b.

Когда разложение невозможно? Если базисные векторы линейно зависимы (определитель матрицы из их координат равен нулю), они не образуют базис n-мерного пространства и единственное разложение может не существовать.

Как проверить ответ? Подставьте найденные коэффициенты в комбинацию x₁a₁ + x₂a₂ + ... и сравните координаты с вектором b. Калькулятор показывает проверку A·x в блоке результатов.

Чем отличается от скалярного произведения? Здесь ищутся коэффициенты разложения по нескольким базисным векторам, а не одно число a·b. Для двух векторов на плоскости это задача из двух уравнений с двумя неизвестными.

Можно ли задать неортогональный базис? Да. Базисные векторы не обязаны быть единичными или попарно перпендикулярными. Главное - их линейная независимость.

Справочный расчёт для учебных и инженерных задач. Результат не заменяет развёрнутое решение в контрольной или на экзамене, если преподаватель требует полную запись.