Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов (также «тройное скалярное произведение») для a, b, c - это скалярное произведение вектора a на векторное произведение b × c: (a, b, c) = a · (b × c).

Геометрический смысл: модуль результата равен объёму параллелепипеда (фигуры с шестью гранями-параллелограммами), построенного на векторах a, b, c. Знак показывает ориентацию тройки векторов относительно правой тройки базисных осей.

Численно смешанное произведение можно найти как определитель матрицы 3×3, составленной из координат трёх векторов. Если результат близок к нулю, векторы компланарны (лежат в одной плоскости).

Ниже представлен онлайн-калькулятор для расчёта смешанного произведения трёх векторов в пространстве XYZ.

Калькулятор вычисляет смешанное (тройное скалярное) произведение трёх векторов в 3D. Векторы задаются координатами или парами точек. Допускаются целые числа, десятичные дроби и обыкновенные дроби вида 1/2.

Формула (правило Саррюса): \[ (a,b,c) = a_x b_y c_z + a_y b_z c_x + a_z b_x c_y \] \[ - a_z b_y c_x - a_x b_z c_y - a_y b_x c_z \]. Эквивалентно \[ (a,b,c) = \det \begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix} \].

Частые вопросы

Что такое смешанное произведение? Это число, равное скалярному произведению a на векторное произведение b×c. Оно характеризует ориентированный объём параллелепипеда на векторах a, b, c.

Когда результат равен нулю? Если векторы компланарны (лежат в одной плоскости) или хотя бы один нулевой. Тогда объём параллелепипеда равен нулю.

Чем отличается знак результата? Положительный знак соответствует правой ориентации тройки (как i, j, k), отрицательный - левой. Модуль результата всегда равен объёму.

Как задать вектор точками? Калькулятор строит AB = B-A, CD = D-C, EF = F-E и подставляет координаты в формулу.

Можно ли проверить вручную? Для a={1;0;0}, b={0;1;0}, c={0;0;1} получаем 1·1·1 = 1, то есть единичный объём куба.

Справочный расчёт для учебных и инженерных задач. Результат не заменяет развёрнутое решение, если преподаватель требует полную запись.