Векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов в трёхмерном пространстве с осями XYZ даёт вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат оба сомножителя. Результат антикоммуникативен: a × b = -(b × a). В инженерных расчётах векторное произведение применяют для момента силы, угловой скорости и построения нормали к плоскости.

Для a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} координаты результата c = a × b находят по правилу определителя с базисными векторами i, j, k: c_x = a_yb_z - a_zb_y, c_y = a_zb_x - a_xb_z, c_z = a_xb_y - a_yb_x. Модуль |a × b| равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, и связан с углом между ними: |a × b| = |a| · |b| · sin φ.

Калькулятор вычисляет векторное произведение двух векторов в трёхмерном пространстве XYZ. Векторы можно задать координатами или парой точек (начало и конец). В поля ввода допускаются целые числа, десятичные дроби вида 1.4 и обыкновенные дроби вида 1/2.

Основная формула через определитель: \[ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \]. Результат - вектор c = {c_x; c_y; c_z}, перпендикулярный плоскости векторов a и b. Модуль |a × b| равен площади параллелограмма на этих векторах.

Частые вопросы

Что такое векторное произведение? Это операция над двумя векторами в 3D, результатом которой является новый вектор, перпендикулярный обоим сомножителям. Его направление задаётся правилом буравчика (правилом правой руки).

Чем отличается от скалярного произведения? Скалярное произведение даёт число, векторное - вектор. Скалярное связано с cos φ, векторное - с sin φ и площадью параллелограмма.

Когда результат равен нулевому вектору? Если векторы коллинеарны (лежат на одной прямой) или хотя бы один из них нулевой. Тогда площадь параллелограмма равна нулю.

Что значит антикоммуникативность? При перестановке множителей знак меняется: b × a = -(a × b). Порядок векторов важен.

Чем отличается ввод координатами от ввода точками? При вводе точками калькулятор строит вектор как разность: AB = B - A, CD = D - C, затем считает векторное произведение.

Как проверить ответ вручную? Для a = {1; 0; 0} и b = {0; 1; 0}: c_x = 0, c_y = 0, c_z = 1. Получается c = {0; 0; 1}.

Справочный расчёт для учебных и инженерных задач. Результат не заменяет развёрнутое решение в контрольной или на экзамене, если преподаватель требует полную запись.