Расстояние между точкой и плоскостью

Расстояние между точкой M и плоскостью - это кратчайшее расстояние, выраженное отрезком перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость, заданную уравнением общего вида Ax + By + Cz + D = 0. Калькулятор принимает координаты точки и коэффициенты плоскости, выводит расстояние d и пошаговый расчёт по формуле аналитической геометрии.

Расчёт выполняется по формуле \[ d = \dfrac{|A x_1 + B y_1 + C z_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \], где x₁, y₁, z₁ - координаты точки M, а A, B, C, D - коэффициенты уравнения плоскости. Например, для M(1; 3; 4) и плоскости 5x + y + 2z + 7 = 0 числитель равен |5 + 3 + 8 + 7| = 23, знаменатель √30, поэтому d = 23/√30.

Потребность в определении расстояния между точкой M и плоскостью Ax + By + Cz + D = 0 может возникать у инженеров и проектировщиков строительных конструкций, при позиционировании летательного аппарата над землёй и в других задачах, где важно положение объекта относительно плоскости.

Калькулятор вычисляет расстояние от точки до плоскости в трёхмерном пространстве. Задайте координаты точки M(x₁; y₁; z₁) и коэффициенты уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0. В поля допускаются целые числа, десятичные дроби (например, 1.4) и обыкновенные дроби вида 1/2.

Основная формула: \[ d = \dfrac{|A x_1 + B y_1 + C z_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]. Числитель - модуль подстановки координат точки в левую часть уравнения плоскости, знаменатель - длина нормали n = (A; B; C) к плоскости.

Частые вопросы

Что означает нулевое расстояние? Если d = 0, точка лежит на плоскости: подстановка координат в уравнение даёт ноль без модуля.

Можно ли задавать плоскость z = k? Да. Для горизонтальной плоскости z = 2 используйте A = 0, B = 0, C = 1, D = -2. Тогда d = |z₁ - 2|.

Что если A = B = C = 0? Уравнение не задаёт плоскость. Калькулятор покажет ошибку - нужно указать хотя бы один ненулевой коэффициент при x, y или z.

Как проверить ответ вручную? Подставьте координаты в Ax + By + Cz + D, возьмите модуль и разделите на √(A² + B² + C²). Для M(1; 3; 4) и 5x + y + 2z + 7 = 0 получаем 23/√30.

Зачем модуль в числителе? Расстояние всегда неотрицательно. Знак выражения Ax + By + Cz + D показывает, с какой стороны плоскости лежит точка, но длина перпендикуляра берётся по модулю.

Что показывает SVG-схема? Это проекция точки M и нормали n на координатную плоскость xy для наглядности. Точное 3D-расстояние всегда берётся из формулы выше.

Справочный расчёт для учебных и инженерных задач. Результат не заменяет развёрнутое решение в контрольной или на экзамене, если преподаватель требует полную запись.