Полиномиальное уравнение до 10 степени

Онлайн калькулятор решает произвольное полиномиальное уравнение до 10 степени. Вычисляет все действительные и комплексные корни. Введите коэффициенты полинома и нажмите "Вычислить".

Полиномиальное уравнение имеет вид \[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0 \] , где n - степень полинома (от 1 до 10), а a₀, a₁, ..., a_n - коэффициенты. По основной теореме алгебры уравнение степени n имеет ровно n корней (с учетом кратности) в поле комплексных чисел.

Полиномиальное уравнение - это уравнение вида \[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0 \] , где n - натуральное число (степень полинома), а a₀, a₁, ..., a_n - числовые коэффициенты.

По основной теореме алгебры (теорема Гаусса), каждый полином степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней в поле комплексных чисел (с учетом кратности).

Для уравнений 1 и 2 степени существуют точные формулы. Линейное уравнение ax + b = 0 имеет один корень \[ x = -\frac{b}{a} \] . Квадратное уравнение решается через дискриминант \[ D = b^2 - 4ac \] , корни равны \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] .

Для уравнений 3 и 4 степени существуют формулы Кардано и Феррари. Для степеней 5 и выше точных формул через радикалы не существует (теорема Абеля-Руффини), поэтому используются численные методы.

Данный калькулятор использует метод Дюранда-Кернера - итерационный алгоритм одновременного нахождения всех корней полинома. Метод сходится для большинства полиномов и находит как действительные, так и комплексные корни.

Формулы Виета связывают корни полинома с его коэффициентами. Для квадратного уравнения x^2 + px + q = 0 сумма корней равна -p, произведение равно q.

Применение: алгебра, теория управления, обработка сигналов, компьютерная графика, физика, инженерные расчеты.

Интересный факт: Эварист Галуа в возрасте 20 лет доказал невозможность решения уравнений степени 5 и выше в радикалах, создав теорию групп - одну из фундаментальных областей математики.