Нелинейные уравнения

Данный калькулятор предназначен для решения нелинейных уравнений онлайн. Нелинейное уравнение в общем виде записывают как f(x) = 0, где f(x) - непрерывная функция аргумента x. Нелинейные уравнения бывают алгебраическими и трансцендентными: во втором случае в выражение входят логарифмы, тригонометрические или показательные функции.

Методы решения нелинейных уравнений делят на прямые и итерационные. Прямой метод даёт формулу корня через конечное число операций, но большинство уравнений так не решается. Итерационные методы находят приближённый корень с заданной точностью.

Корень ищут методом Ньютона (касательных): \[ x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \], где производную оценивают численно. Введите начальное приближение x₀, точность ε и левую часть f(x) (переменная - x), затем нажмите Вычислить.

Метод Ньютона (метод касательных) относится к итерационным способам поиска корней. На каждом шаге строят касательную к графику y = f(x) в точке (x_n, f(x_n)) и берут её пересечение с осью Ox как новое приближение \[ x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]. Производную в калькуляторе оценивают численно по разностному отношению, как в исходной версии.

Алгебраические нелинейные уравнения содержат только степени, корни и рациональные операции, например x^2 - 4 = 0 или x^3 - x = 0. Трансцендентные включают sin x, cos x, exp x, log x и подобные функции, как в примере sin(x) + x^2 = 0.

Частые вопросы

Как задавать уравнение? Введите только левую часть f(x). Знак = 0 подразумевается. Пример: sin(x)+x^2. Для ввода используйте кнопки под полем или обычную клавиатуру.

Какие функции и операторы поддерживаются? Сложение +, вычитание -, умножение * (или ×), деление /, степень x^n или x^2, x^3. Корни sqrt(x), cbrt(x). Логарифмы ln(x), log(x), log10(x), log2(x), log(x, основание). Тригонометрия sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) (также tg, ctg), обратные asin(x), acos(x), atan(x) (также arcsin, arccos, arctg). Гиперболические sinh(x), cosh(x), tanh(x). Показательная exp(x), модуль abs(x), pow(x, n), min(...), max(...), round(x), floor(x), ceil(x), sign(x), mod(x, n). Константы pi (или π), e. Переменная уравнения - x.

Что такое x₀? Это начальное приближение. От него зависит, к какому корню сойдётся метод, если корней несколько.

Что означает точность ε? Итерации останавливаются, когда |f(x)| ≤ ε. По умолчанию 0.005, как в оригинальном калькуляторе.

Почему метод не сошёлся? Возможны плохое начальное приближение, нулевая производная или разрыв функции. Попробуйте другую точку x₀.

Как проверить ответ? Подставьте найденный x в f(x). Значение должно быть близко к нулю в пределах выбранной точности.

Расчёт носит справочный характер: для зачёта может потребоваться полная письменная запись итераций, а не только числовой ответ калькулятора.