Угол между плоскостями

Данный калькулятор предназначен для определения угла между двумя плоскостями в пространстве онлайн. Плоскости задаются уравнениями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Достаточно ввести коэффициенты и нажать Вычислить - калькулятор покажет острый диэдральный угол в радианах и градусах.

Две плоскости могут быть параллельны или пересекаться. При пересечении образуются четыре угла: два острых и два тупых. Угол между плоскостями - это острый угол, образованный их пересечением.

Если плоскости заданы уравнениями \[ A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \] и \[ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0, \] нормали равны \[ \vec n_1 = (A_1;\, B_1;\, C_1), \] \[ \vec n_2 = (A_2;\, B_2;\, C_2). \] Острый угол φ между плоскостями находят через скалярное произведение нормалей.

Калькулятор находит острый угол между двумя плоскостями в пространстве по коэффициентам их уравнений. Введите A₁, B₁, C₁, D₁ для первой плоскости и A₂, B₂, C₂, D₂ для второй. Свободные члены D₁ и D₂ смещают плоскость, но не меняют направление нормали, поэтому на угол не влияют.

Если плоскости заданы уравнениями \[ A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \] и \[ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0, \] нормали равны \[ \vec n_1 = (A_1;\, B_1;\, C_1), \] \[ \vec n_2 = (A_2;\, B_2;\, C_2). \]

По формуле скалярного произведения \[ \vec n_1 \cdot \vec n_2 = |\vec n_1| \cdot |\vec n_2| \cdot \cos \varphi \] Скалярное произведение нормалей: \[ A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 \] Длины нормалей: \[ |\vec n_1| = \sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \] \[ |\vec n_2| = \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} \] получаем \[ A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = |\vec n_1| \cdot |\vec n_2| \cdot \cos \varphi \]

Отсюда \[ \cos \varphi = \dfrac{A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|} \] и \[ \varphi = \arccos\left(\dfrac{A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}\right). \] Если полученный угол больше 90°, берут дополнение до 180° - острый диэдральный угол между плоскостями.

Частые вопросы

Почему D не участвует в формуле? Коэффициенты A, B и C задают нормаль к плоскости, а угол определяется направлением нормалей, а не положением плоскости в пространстве.

Что если плоскости параллельны? Нормали коллинеарны, cos φ = 1 или -1, острый угол 0°. Пример: x + y + z = 0 и 2x + 2y + 2z + 5 = 0 дают 0°.

Как получить 90°? Достаточно перпендикулярных нормалей, например x = 0 (A=1, B=0, C=0) и y = 0 (A=0, B=1, C=0).

Как проверить ответ вручную? Вычислите скалярное произведение A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂, длины √(A₁² + B₁² + C₁²) и √(A₂² + B₂² + C₂²), разделите и возьмите arccos. Если угол тупой, возьмите 180° минус этот угол.