Взаимное расположение плоскостей

Данный калькулятор предназначен для определения взаимного расположения двух плоскостей в пространстве онлайн. Плоскости задаются уравнениями общего вида A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Достаточно ввести коэффициенты и нажать Вычислить.

Две плоскости могут быть параллельны, совпадать, быть взаимно перпендикулярны или пересекаться под произвольным углом. Калькулятор определяет тип расположения по нормалям к плоскостям.

Нормали к плоскостям равны \[ \vec n_1 = (A_1;\, B_1;\, C_1), \] \[ \vec n_2 = (A_2;\, B_2;\, C_2). \] Если \[ A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0, \] плоскости перпендикулярны. Если векторное произведение нормалей равно нулю, нормали параллельны: плоскости параллельны или совпадают в зависимости от свободных членов D₁ и D₂.

Калькулятор определяет взаимное расположение двух плоскостей в пространстве по коэффициентам их уравнений. Введите A₁, B₁, C₁, D₁ для первой плоскости и A₂, B₂, C₂, D₂ для второй. В поля можно вводить целые числа, десятичные дроби и обыкновенные дроби вида 1/2. Хотя бы один из коэффициентов A, B, C в каждом уравнении должен быть ненулевым.

Плоскости заданы уравнениями \[ A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \] и \[ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0. \] Нормали \[ \vec n_1 = (A_1;\, B_1;\, C_1), \] \[ \vec n_2 = (A_2;\, B_2;\, C_2) \] задают направление, перпендикулярное каждой плоскости.

Если \[ A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0, \] плоскости взаимно перпендикулярны. Если \[ \vec n_1 \times \vec n_2 = \vec 0, \] нормали параллельны: плоскости параллельны или совпадают. Совпадение проверяется равенством D₁ = λ D₂, где λ - коэффициент пропорциональности нормалей. Иначе плоскости пересекаются, но не перпендикулярны.

Частые вопросы

Как получить перпендикулярные плоскости? Достаточно ортогональных нормалей, например x = 0 (A=1, B=0, C=0) и y = 0 (A=0, B=1, C=0).

Чем отличаются параллельные и совпадающие? При параллельных нормалях, если D₁ / D₂ не совпадает с коэффициентом пропорциональности A, B, C, плоскости параллельны, но разнесены. Пример: x + y + z = 1 и 2x + 2y + 2z = 5.

Что если A = B = C = 0? Уравнение не задаёт плоскость. Калькулятор покажет ошибку.

Как проверить ответ вручную? Вычислите скалярное произведение нормалей и векторное произведение. Нулевое скалярное произведение даёт перпендикулярность, нулевое векторное - параллельность нормалей.