Длина, модуль вектора

Вектор - это отрезок определённой направленности. В числовом выражении его длину называют модулем или просто длиной вектора. Длина записывается как |v| или |AB|. Для вектора v (x; y) на плоскости она равна квадратному корню из суммы квадратов координат x и y.

Чтобы найти длину вектора |v| (4; 6), подставьте координаты в формулу: |v| = √(4² + 6²). В трёхмерном пространстве к сумме квадратов добавляется z².

На плоскости \[ |\vec v| = \sqrt{x^2 + y^2} \], в пространстве \[ |\vec v| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]. Выберите тип пространства, введите координаты вектора и нажмите Вычислить.

Калькулятор находит длину (модуль) вектора по его координатам на плоскости или в пространстве. Выберите двухмерное или трёхмерное пространство, введите координаты x, y (и z для 3D) и нажмите Вычислить.

На плоскости длина вектора v (x; y) вычисляется по формуле \[ |\vec v| = \sqrt{x^2 + y^2} \]. Например, для v (3; 4) получаем |v| = √(9 + 16) = 5. Для v (4; 6) длина равна √(16 + 36) = √52.

В трёхмерном пространстве к формуле добавляется координата z: \[ |\vec v| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]. Например, v (1; 2; 2) даёт |v| = √(1 + 4 + 4) = 3. Нулевой вектор (0; 0) или (0; 0; 0) имеет длину 0.

Частые вопросы

Чем модуль отличается от длины? В школьной и вузовской геометрии эти термины для вектора совпадают: |v| - неотрицательное число, равное расстоянию от начала координат до конца стрелки.

Нужны ли координаты точек A и B? Этот калькулятор принимает уже готовые координаты вектора. Если заданы точки A и B, сначала найдите v = B - A по каждой координате, затем подставьте в формулу.

Что если координаты отрицательные? В формуле используются квадраты координат, поэтому знак не важен: (-3; -4) и (3; 4) дают одинаковую длину 5.

Как проверить ответ вручную? Возведите каждую координату в квадрат, сложите и извлеките квадратный корень. Для (3; 4): 3² + 4² = 25, √25 = 5.