Среднее арифметическое, Дисперсия, Вариация

Онлайн калькулятор выполняет расчеты среднего арифметического, дисперсии, среднеквадратического отклонения, коэффициента вариации, показателей асимметрии и эксцесса, среднего линейного отклонения. Для получения результата введите исследуемые значения и нажмите кнопку "Вычислить".

Среднее арифметическое вычисляется по формуле \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \] , выборочная дисперсия \[ D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \] , среднеквадратическое отклонение \[ \sigma = \sqrt{D} \] , коэффициент вариации \[ V = \frac{\sigma}{\bar{x}} \cdot 100\% \] .

Среднее арифметическое - это сумма всех значений, деленная на их количество. Обозначается \[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \] . Оно показывает центральную тенденцию данных, то есть "типичное" значение выборки.

Дисперсия - это мера разброса значений относительно среднего. Выборочная дисперсия вычисляется с делением на n - 1 (поправка Бесселя) \[ D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \] . Среднеквадратическое отклонение - это квадратный корень из дисперсии \[ \sigma = \sqrt{D} \] , оно измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.

Коэффициент вариации - это отношение среднеквадратического отклонения к среднему, выраженное в процентах \[ V = \frac{\sigma}{\bar{x}} \cdot 100\% \] . Он позволяет сравнивать разброс данных, измеренных в разных единицах. Если V < 33%, совокупность считается однородной.

Среднее линейное отклонение - это среднее абсолютных отклонений значений от среднего арифметического \[ \bar{d} = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n} \] .

Асимметрия (A_s) характеризует степень несимметричности распределения. При A_s > 0 распределение смещено вправо, при A_s < 0 - влево. Эксцесс (E) показывает "островершинность" распределения по сравнению с нормальным: при E > 0 распределение более островершинное, при E < 0 - более плосковершинное.

Где применяется: описательная статистика используется в контроле качества продукции, медицинских исследованиях, финансовом анализе, социологии, психологии и педагогике - везде, где нужно обобщить и охарактеризовать массив числовых данных.

Интересный факт: поправка Бесселя (деление на n - 1 вместо n) при расчете выборочной дисперсии была предложена Фридрихом Бесселем в 1815 году. Она компенсирует систематическое занижение дисперсии при оценке по выборке и делает оценку несмещенной.