Дзета функция Римана

Дзета-функция Римана, или тождество Эйлера для ζ(s), задаётся для комплексного аргумента s. Это аналитическая функция, допускающая аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением точки s = 1.

Онлайн-калькулятор вычисляет приближённое значение дзета-функции для заданного аргумента s суммированием ряда Дирихле по первым 19999 слагаемым.

Как пользоваться. Введите аргумент s в поле ввода и нажмите «Вычислить». Калькулятор суммирует ряд 1/n^s для n от 1 до 19999 и покажет приближённое значение ζ(s), округлённое до пяти знаков после запятой. При изменении числа расчёт обновляется автоматически.

Что такое дзета-функция. Дзета-функция Римана ζ(s) для вещественных s > 1 задаётся рядом суммы 1/n^s по всем натуральным n. Для s = 2 получается π²/6, для s = 4 значение равно π⁴/90. Функция играет центральную роль в теории чисел и связана с распределением простых чисел.

Метод расчёта. Калькулятор использует прямое суммирование первых 19999 слагаемых, как в оригинальной версии. Чем больше s, тем быстрее ряд сходится и тем точнее приближение к аналитическому значению. При s ≤ 1 ряд расходится, поэтому результат отражает лишь частичную сумму, а не предел.

Примеры значений. При s = 2 результат около 1.64488, при s = 3 около 1.20206, при s = 4 около 1.08232. Для s = 0 сумма равна 19999, для s = 1 частичная гармоническая сумма составляет около 10.48068.

Ограничения. Расчёт выполняется только для вещественного аргумента s. Для комплексных значений и точных вычислений вблизи s = 1 требуются специализированные математические библиотеки. Результат носит учебно-справочный характер.