Подмножество из множества

Пересечение множеств A и B: множество, включающее только те элементы, которые одновременно принадлежат каждому из пересекаемых множеств. Операцию записывают символом «∩» (напоминает перевёрнутую латинскую «U»); его можно заменять знаком умножения «•».

Понять пересечение множеств проще на наглядном примере:
Если A = {1, 3, 5, 7} и B = {2, 3, 6, 7, 9}, то A ∩ B = {3, 7}.
Или: если A = {1, 4, 5, 8} и B = {2, 5, 7, 8, 9}, то A • B = {5, 8}.

Для пересечения множеств верны ассоциативный и коммутативный законы. Операцию используют в алгебраических, геометрических и статистических задачах, а также при проектировании сложной электроники, где широко применяется алгебра множеств.

Формула. Пересечение множеств A и B: множество элементов, принадлежащих одновременно каждому из них; записывается A ∩ B (допускается обозначение A • B): \[ A \cap B = \{x : x \in A \land x \in B\} \]

Где используется. В алгебре логики (операция «И»), теории множеств, статистике и комбинаторике, при решении алгебраических и геометрических задач, при фильтрации данных в программировании (общие элементы списков, пересечение множеств в SQL) и при проектировании сложной электроники, где применяется алгебра множеств.

Для чего. Быстро найти общие элементы двух списков: введите множества A и B через запятую в поля калькулятора и нажмите «Вычислить». Результат: элементы A, которые встречаются в B, в исходном порядке следования в A.

Пример. Если A = {1, 3, 5, 7} и B = {2, 3, 6, 7, 9}, то A ∩ B = {3, 7}. Если A = {1, 4, 5, 8} и B = {2, 5, 7, 8, 9}, то A • B = {5, 8}. При отсутствии общих элементов пересечение пусто: A ∩ B = ∅.

Отличие от объединения. Объединение A ∪ B собирает все элементы из обоих множеств, а пересечение оставляет только общие. Для пересечения действуют коммутативный закон (A ∩ B = B ∩ A) и ассоциативный; порядок элементов в ответе калькулятора задаётся списком A.