Расстояние между точкой и прямой

Расстояние между точкой M и прямой выражается отрезком перпендикуляра - это кратчайшее расстояние от точки M до прямой на координатной плоскости. Калькулятор принимает координаты точки и коэффициенты уравнения прямой Ax + By + C = 0, выводит расстояние d и пошаговый расчёт по формуле аналитической геометрии.

Расчёт выполняется по формуле \[ d = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \], где x₀, y₀ - координаты точки M, а A, B, C - коэффициенты уравнения прямой. Например, для M(1; 4) и прямой 4x + 2y + 1 = 0 числитель равен |4 + 8 + 1| = 13, знаменатель √20, поэтому d = 13/√20.

Потребность в вычислении расстояния от точки M до прямой Ax + By + C = 0 возникает при проектировании в строительной сфере, машиностроении, космической отрасли и других задачах, где важно положение объекта относительно линии.

Калькулятор вычисляет расстояние от точки до прямой на координатной плоскости. Задайте координаты точки M(x₀; y₀) и коэффициенты уравнения прямой Ax + By + C = 0. В поля допускаются целые числа, десятичные дроби (например, 1.4) и обыкновенные дроби вида 1/2.

Основная формула: \[ d = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]. Числитель - модуль подстановки координат точки в левую часть уравнения прямой, знаменатель - длина нормали n = (A; B) к прямой.

Частые вопросы

Что означает нулевое расстояние? Если d = 0, точка лежит на прямой: подстановка координат в уравнение даёт ноль без модуля.

Можно ли задавать прямую y = k? Да. Для горизонтальной прямой y = 2 используйте A = 0, B = 1, C = -2. Тогда d = |y₀ - 2|.

Можно ли задавать прямую x = k? Да. Для вертикальной прямой x = 3 используйте A = 1, B = 0, C = -3. Тогда d = |x₀ - 3|.

Что если A = B = 0? Уравнение не задаёт прямую. Калькулятор покажет ошибку - нужно указать хотя бы один ненулевой коэффициент при x или y.

Как проверить ответ вручную? Подставьте координаты в Ax + By + C, возьмите модуль и разделите на √(A² + B²). Для M(1; 4) и 4x + 2y + 1 = 0 получаем 13/√20.

Зачем модуль в числителе? Расстояние всегда неотрицательно. Знак выражения Ax + By + C показывает, с какой стороны прямой лежит точка, но длина перпендикуляра берётся по модулю.

Справочный расчёт для учебных и инженерных задач. Результат не заменяет развёрнутое решение в контрольной или на экзамене, если преподаватель требует полную запись.