Сходимость или расходимость ряда

Данный калькулятор предназначен для исследования ряда на сходимость. Под числовым рядом понимается сумма членов числовой последовательности следующего вида: ∑^∞_n=1a_n=a₁+a₂+a₃+…, где все a - это числа. Если говорить о функциональном ряде, то все члены последовательности являются функциями: ∑^∞_n=1f_n(x)=f₁(x)+f₂(x)+f₃(x)+… Ряд, членами которого являются степенные функции, называется степенным рядом: ∑^∞_n=1a_nxⁿ. Чтобы найти сходимость числового ряда, функционального ряда или степенного ряда, необходимо знать признаки сходимости рядов. Существует необходимый признак сходимости ряда: если ряд ∑^∞_n=1a_n сходится, то lim_n→∞ a_n=0.

Однако данный признак не является гарантией сходимости ряда, поэтому рассматриваются также достаточные признаки сходимости. Признаки сравнения рядов заключаются в следующем. Даны два ряда ∑^∞_n=1a_n и ∑^∞_n=1b_n, при этом 0 < a_n < b_n. В таком случае, если ∑^∞_n=1b_n сходится, то также должен сходиться ряд ∑^∞_n=1a_n. Если ∑^∞_n=1a_n расходится, то ∑^∞_n=1b_n тоже расходится.
Калькулятор поможет определить сходимость или расходимость ряда онлайн. В ответе указывается: converges - ряд сходится, diverges - ряд расходится.

Признаки сходимости рядов - это критерии, позволяющие определить, сходится ряд или расходится, без непосредственного вычисления суммы ряда.

Основные признаки:
1. Необходимый признак: Если ряд сходится, то lim a_n = 0 при n→∞. Однако обратное неверно!
2. Признак Даламбера: Если lim |a_n+1/a_n| < 1, ряд сходится; если > 1 - расходится.
3. Признак Коши (корневой): Если lim ⁿ√|a_n| < 1, ряд сходится; если > 1 - расходится.
4. Интегральный признак: Ряд и интеграл от f(x) сходятся или расходятся одновременно.

Синтаксис ввода:
• n - переменная (номер члена ряда)
• ^ - возведение в степень (n^2)
• factorial(n) - факториал n!
• sqrt(n) - квадратный корень
• ln(n), log(n) - логарифмы
• sin(n), cos(n), exp(n) - тригонометрические и экспоненциальная функции