Сходимость числового ряда

Данный калькулятор предназначен для исследования числового ряда на сходимость онлайн.

Под числовым рядом понимается сумма членов числовой последовательности следующего вида: ∑^∞_n=1a_n=a₁+a₂+a₃+…, где все a — это числа. Частичная сумма числового ряда – это сумма вида S_n=a₁+a₂+…+a_n. Числовой ряд является сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм S=lim S_n. Если такого предела не существует, значит, числовой ряд является расходящимся.

Калькулятор применяет следующие признаки сходимости:

• Признак Даламбера: Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему lim(a_n+1/a_n)=D, то ряд сходится при D<1, расходится при D>1. При D=1 признак не даёт ответа.

• Радикальный признак Коши: Если существует предел lim(ⁿ√|a_n|)=C, то ряд сходится при C<1, расходится при C>1. При C=1 признак не даёт ответа.

• Интегральный признак: Ряд ∑f(n) и интеграл ∫f(x)dx сходятся или расходятся одновременно.

Для исследования ряда на сходимость введите общий член ряда a_n как функцию от n.

Калькулятор исследует числовой ряд на сходимость, применяя несколько признаков: признак Даламбера, радикальный признак Коши, признак Лейбница для знакочередующихся рядов, а также сравнение с эталонными рядами. Для каждого признака показывается подробный расчёт предела.

Примеры рядов и их сходимость:
• Гармонический ряд ∑1/n — расходится (пограничный случай p-ряда при p=1).
• Ряд ∑1/n² — сходится (p-ряд с p=2 > 1).
• Геометрический ряд ∑(1/2)ⁿ — сходится (|q| < 1).
• Ряд ∑n!/nⁿ — сходится по признаку Даламбера.
• Знакочередующийся ряд ∑(-1)ⁿ/n — сходится условно по признаку Лейбница.