Угол между прямыми

Данный калькулятор предназначен для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости онлайн. Прямые задаются уравнениями общего вида A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0. Достаточно ввести коэффициенты и нажать Вычислить - калькулятор покажет угол в радианах и градусах.

Две прямые могут совпадать, быть параллельны или пересекаться. Угол между прямыми - это наименьший угол (острый), образованный при пересечении. Если известен один из четырёх углов при пересечении, остальные находят по свойствам вертикальных и смежных углов.

Если прямые заданы уравнениями \[ A_1 x + B_1 y + C_1 = 0 \] и \[ A_2 x + B_2 y + C_2 = 0, \] направляющие векторы равны \[ \vec a_1 = (-B_1;\, A_1), \quad \vec a_2 = (-B_2;\, A_2). \] Угол φ между прямыми находят через скалярное произведение нормалей к прямым (коэффициенты A и B).

Калькулятор находит угол между двумя прямыми на плоскости по коэффициентам их уравнений. Введите A₁, B₁, C₁ для первой прямой и A₂, B₂, C₂ для второй. Свободные члены C₁ и C₂ смещают прямую, но не меняют её направление, поэтому на угол не влияют.

Если прямые заданы уравнениями \[ A_1 x + B_1 y + C_1 = 0 \] и \[ A_2 x + B_2 y + C_2 = 0, \] направляющие векторы равны \[ \vec a_1 = (-B_1;\, A_1), \quad \vec a_2 = (-B_2;\, A_2). \]

По формуле скалярного произведения \[ \vec a_1 \cdot \vec a_2 = |\vec a_1| \cdot |\vec a_2| \cdot \cos \varphi \] получаем \[ A_1 A_2 + B_1 B_2 = \sqrt{A_1^2 + B_1^2}\,\sqrt{A_2^2 + B_2^2}\,\cos \varphi. \]

Отсюда \[ \cos \varphi = \dfrac{A_1 A_2 + B_1 B_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}\,\sqrt{A_2^2 + B_2^2}} \] и \[ \varphi = \arccos\left(\dfrac{A_1 A_2 + B_1 B_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}\,\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}\right). \] Результат выводится в радианах и градусах.

Частые вопросы

Почему C не участвует в формуле? Коэффициенты A и B задают нормаль к прямой, а угол между прямыми определяется направлением, а не положением на плоскости.

Что если прямые параллельны? Направляющие векторы коллинеарны, cos φ = 1 или -1, угол 0° или 180°. Пример: x + y = 0 и 2x + 2y + 5 = 0 дают 0°.

Как получить 90°? Достаточно перпендикулярных нормалей, например x = 0 (A=1, B=0) и y = 0 (A=0, B=1).

Как проверить ответ вручную? Вычислите скалярное произведение A₁A₂ + B₁B₂, длины √(A₁² + B₁²) и √(A₂² + B₂²), разделите и возьмите arccos.