Аргумент и модуль комплексного числа

Вычислить аргумент и модуль комплексного числа. Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ.

Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ.

Из определения следуют следующие формулы:

\[ \text{Re}(z) = |z| \cdot \cos(\varphi), \quad \text{Im}(z) = |z| \cdot \sin(\varphi) \]

Для числа z = 0 аргумент не определен. Главным значением аргумента называется такое значение φ, что -π < φ ≤ π. Обозначается: arg(z).

Свойства аргумента:

• Arg(z₁·z₂) = Arg(z₁) + Arg(z₂) - аргумент от произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел
• Arg(z₁/z₂) = Arg(z₁) - Arg(z₂) - аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов этих чисел
• Arg(z̄) = -Arg(z) - аргумент от сопряженного комплексного числа равен отрицательному значению аргумента от этого числа

Модулем комплексного числа z = x + iy называется вещественное число |z| равное:

\[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Для любых комплексных чисел z, z₁, z₂ имеют место следующие свойства модуля: |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, |z̄| = |z|. Для пары комплексных чисел z₁ и z₂ модуль их разности |z₁ - z₂| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Аргумент и модуль комплексного числа используются в электротехнике, квантовой механике и теории колебаний для описания фазы и амплитуды процессов. Формулы |z| = √(x² + y²) и arg(z) = arctan(y/x) позволяют перейти от алгебраической формы комплексного числа z = x + iy к тригонометрической и показательной.

Интересный факт: формула Эйлера e^(iφ) = cos(φ) + i·sin(φ) связывает показательную функцию с тригонометрическими и является основой для компактного представления комплексных чисел в виде z = |z|·e^(i·arg(z)).