Линейные неравенства

Неравенством называются выражения, которые содержат переменные величины, связанные между собой знаками:
«больше» (>);
«больше или равно» (≥);
«меньше» (<);
меньше или равно (≤).

Линейные неравенства с одной переменной x описываются выражениями вида:
xy + z > 0
xy + z < 0
xy + z ≥ 0
xy + z ≤ 0
при этом y не равен нулю.

Признаки линейных неравенств: содержат переменную величину только в первой степени; деление на переменную не производится; умножение переменной величины на 0 не производится.

Решить неравенство, означает найти все возможные значения входящей в него переменной, или доказать, что их не существует.

Три правила решения линейных неравенств

При перемещении слагаемых из одной части в другую отрицательные величины становятся положительными, и наоборот. Знак самого неравенства при этом сохраняется.
x - y > z => x - z > y => x > z + y
например:
x - 9 > 3 => x > 3 + 9 => x > 12

При умножении или делении обоих частей на одинаковое положительное число неравенство останется правильным и его знак не изменится.
x < z => yx < yz => x/y < z/y
например:
10x > 20 => x > 2
0,5x < 3 => x < 6

Если множитель (делитель) является отрицательным, знак неравенства необходимо заменить на противоположный.
x < z => -yx > -yz => -x/y > -z/y
Например:
9 > 3 => -9 < -3 => -3 < -1

Умение решать линейные неравенства пригодятся вам в дальнейшем для изучения и исследования функций. Они потребуются для:
• нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в определенном промежутке;
• определения промежутков возрастания и убывания функции;
• определения ограниченности функций.

Калькулятор наглядно показывает, как меняется линейное неравенство при одинаковом преобразовании обеих частей. Задайте числовые значения X, Y и Z, выберите операцию и получите преобразованное неравенство с подстановкой чисел.

\[ X + Z < Y + Z \quad\Rightarrow\quad x + z < y + z \]

При сложении и вычитании одного числа знак неравенства сохраняется. При умножении и делении на положительное число знак также не меняется. Эти правила лежат в основе решения линейных неравенств с одной переменной.