Расстояние между параллельными плоскостями

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. Точку выбирают произвольно, поскольку все точки одной плоскости равноудалены от другой, если плоскости параллельны.

Калькулятор принимает коэффициенты A, B, C, D₁, D₂ двух параллельных плоскостей Ax + By + Cz + D₁ = 0 и Ax + By + Cz + D₂ = 0 (нормали совпадают) и вычисляет расстояние по формуле \[ d = \frac{|D_{2} - D_{1}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \]. Например, для плоскостей 2x + 4y - 6z + 18 = 0 и 2x + 4y - 6z + 1 = 0 ответ равен 2.27172056.

Формула. Для двух параллельных плоскостей Ax + By + Cz + D₁ = 0 и Ax + By + Cz + D₂ = 0 расстояние вычисляется как d = |D₂ - D₁| / √(A² + B² + C²). Перед вводом уравнения приводят к одинаковым коэффициентам при x, y, z. Коэффициенты A, B, C не могут быть одновременно равны нулю.

Где применяется. Задача встречается в аналитической геометрии, в CAD и при проверке зазоров между параллельными поверхностями в инженерных расчетах.

Для чего нужно. Калькулятор сразу даёт численное расстояние и пошаговый вывод, если известны коэффициенты приведенных уравнений плоскостей.

Пример. Плоскости x + 2y - 3z + 9 = 0 и 2x + 4y - 6z + 1 = 0 параллельны. Умножив первое уравнение на 2, получаем 2x + 4y - 6z + 18 = 0. Тогда d = |1 - 18| / √(4 + 16 + 36) = 17 / √56 ≈ 2.27172056.

Интересный факт. Если D₁ = D₂, плоскости совпадают и расстояние равно нулю: это тот же частный случай формулы, а не отдельное правило.