Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянный знаменатель q. Калькулятор по известному члену A_k, знаменателю q и номеру n находит первый член, n-й член и сумму первых n членов, а также показывает первые 10 членов ряда.

Если известен член A_k с номером k и знаменатель q, первый член находят по формуле \[ A_{1} = \dfrac{A_{k}}{q^{k - 1}} \] n-й член прогрессии равен \[ A_{n} = A_{1} \cdot q^{n - 1} \] Сумма первых n членов вычисляется как \[ S_{n} = A_{1} \cdot \dfrac{q^{n} - 1}{q - 1} \] при условии q ≠ 1.

Где применяется. Геометрические прогрессии используются в финансах (сложный процент), биологии (рост популяций), физике (радиоактивный распад) и при решении задач на числовые последовательности в школе и вузе.

Для чего нужно. Калькулятор по известному члену A_k, знаменателю q и номеру n находит первый член, n-й член и сумму первых n членов. При q > 1 последовательность возрастает; при 0 < q < 1 - убывает; при отрицательном q члены чередуют знаки.

Пример. При k = 1, A₁ = 2, q = 3, n = 10 получаем A₁₀ = 39 366 и S₁₀ = 59 048. Первые члены: 2, 6, 18, 54, 162, ...

Интересный факт. Если 0 < q < 1, геометрическая прогрессия бесконечно убывает, и сумма всех её членов равна A₁ / (1 - q). Это отдельный случай, для него есть специальный калькулятор суммы бесконечно убывающей прогрессии.

В зависимости от знаменателя прогрессии, выписанные члены геометрической прогрессии могут давать различный вид ряда. Если знаменатель является числом положительным, больше 1 (k > 1), тогда он будет увеличивать значение каждого следующего числа. Такая прогрессия будет монотонно возрастать на протяжении всего ряда. Если знаменатель - положительный, но находится между 0 и 1 (0 < k < 1), тогда он будет каждый раз уменьшать значение следующего члена, и такая прогрессия будет называться бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Если для все возрастающей последовательности, можно только найти сумму первых членов геометрической прогрессии, то сумма членов бесконечно убывающей прогрессии будет равна вполне конкретному числовому значению, которое может рассчитать калькулятор. Третий случай представлен отрицательным знаменателем (k < 0), тогда прогрессия становится знакочередующейся, то есть первые члены геометрической прогрессии определяют порядок знаков для всей последовательности чисел. Как знаменатель геометрической прогрессии, так и первый член геометрической прогрессии по определению не могут быть равны нулю.

Существует всего несколько формул геометрической прогрессии, из которых можно вывести все необходимые для решения конкретных задач:

• Формула первого члена геометрической прогрессии;

• Формула n члена геометрической прогрессии;

• Формула суммы первых членов геометрической прогрессии;

• Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

• Формула знаменателя геометрической прогрессии.

Таким образом, если условиями задана геометрическая прогрессия с хотя бы двумя параметрами из всех выше представленных, для нее можно будет найти любую из всех прочих переменных.