Проекция вектора на вектор

Онлайн калькулятор вычисления проекции вектора на вектор. Поможет найти проекцию вектора на вектор на плоскости и в пространстве.

Проекция вектора \[ \vec{a} \] на вектор \[ \vec{b} \] представляет собой отрезок на векторе \[ \vec{b} \] , полученный перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора \[ \vec{a} \] либо на сам вектор \[ \vec{b} \] , либо на его продолжение.

Длина проекции \[ пр _{\vec{b}}^{\space \space \vec{a}}\] остается одной и той же при перемещении вектора \[ \vec{a} \] в любое другое место, поэтому для того чтобы вычислить проекцию вектора на вектор, удобнее будет расположить вектор \[ \vec{a} \] и вектор \[ \vec{b} \] , исходящими из одной точки. Таким образом, перпендикуляр проекции соединяет оба вектора в прямоугольный треугольник. Угол между векторами α будет основным связующим звеном в выведении формулы. Как известно из скалярного произведения векторов, между векторами равен отношению скалярного произведения к произведению длин векторов.
\[ cosα = \frac{\vec{a}\vec{b}}{\lvert \vec{a} \lvert \lvert \vec{b} \lvert} \]

С другой стороны, косинус данного угла равен отношению прилежащего катета \[ пр _{\vec{b}}^{\space \space \vec{a}}\] к гипотенузе \[ \lvert \vec{a} \lvert \] , как в любом прямоугольном треугольнике.
\[ cosα = \frac{пр _{\vec{b}}^{\space \space \vec{a}}}{\lvert \vec{a} \lvert} \]

Теперь можно сказать, что отношение проекции вектора \[ \vec{a} \] на вектор \[ \vec{b} \] к длине вектора \[ \vec{|a|} \] равно отношению скалярного произведения векторов к произведению их длин, или иначе проекция вектора на вектор равна отношению скалярного произведения векторов к вектору \[ \vec{b} \] .
\[ \frac{пр _{\vec{b}}^{\space \space \vec{a}}}{\lvert \vec{a} \lvert} =\frac{\vec{a}\vec{b}}{\lvert \vec{a} \lvert \lvert \vec{b} \lvert} \]
\[ пр _{\vec{b}}^{\space \space \vec{a}} = \frac{\vec{a} \vec{b}}{\lvert \vec{b} \lvert} \]