Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов - это число (скаляр), которое можно найти по формуле a · b = |a| · |b| · cos φ или попарным умножением координат: a · b = a_x · b_x + a_y · b_y на плоскости. Калькулятор также показывает длины векторов, угол между ними, скалярные проекции и 2D-чертёж для геометрической проверки результата.

В пространстве XYZ для a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} расчёт выполняется по той же схеме: a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z. Например, a = {3; 5; 2} и b = {4; 3; 5} дают 3 · 4 + 5 · 3 + 2 · 5 = 37. В n-мерном пространстве формула обобщается: a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + ... + a_n · b_n.

Калькулятор вычисляет скалярное произведение двух векторов на плоскости или в пространстве. Векторы можно задать координатами или парой точек (начало и конец). В поля ввода допускаются целые числа, десятичные дроби и обыкновенные дроби вида 1/2.

Основная формула: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \]. Результат - одно число (скаляр). Оно связано с длинами векторов и углом между ними: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos\varphi \].

Частые вопросы

Что такое скалярное произведение? Это операция над двумя векторами, результатом которой является число, а не вектор. Геометрически оно показывает, насколько векторы сонаправлены, перпендикулярны или направлены в разные стороны.

Когда результат равен нулю? Если оба вектора ненулевые, нулевое скалярное произведение означает ортогональность (перпендикулярность). Если один из векторов нулевой, произведение тоже равно нулю, но угол, cos φ и часть проекций не определены.

Что показывают проекции? Скалярная проекция a на b показывает, какую длину даёт вектор a вдоль направления b. Аналогично считается проекция b на a.

Чем отличается ввод координатами от ввода точками? При вводе точками калькулятор сначала строит вектор как разность конечной и начальной точки: AB = B - A, CD = D - C, затем считает скалярное произведение.

Можно ли считать только на плоскости? Да, переключите размерность на 2D. Третья координата z скрывается, формула упрощается до a_xb_x + a_yb_y, а в результате появляется SVG-чертёж с осями, сеткой, стрелками и дугой угла.

Почему нет 3D-чертежа? Для 3D калькулятор оставляет численную часть: скалярное произведение, длины, cos φ, угол и проекции. Чертёж ограничен 2D, чтобы не вводить в заблуждение плоской проекцией пространственных векторов.

Как проверить ответ вручную? Перемножьте соответствующие координаты и сложите. Для a = {3; 5; 2} и b = {4; 3; 5}: 3·4 + 5·3 + 2·5 = 12 + 15 + 10 = 37.

Справочный расчёт для учебных и инженерных задач. Результат не заменяет развёрнутое решение в контрольной или на экзамене, если преподаватель требует полную запись.