Угол между векторами

Термин угол между векторами означает наименьший угол, на который нужно повернуть один вектор, чтобы он стал сонаправлен с другим. В инженерных, электротехнических и математических расчётах угол выражается через cos α, равный отношению скалярного произведения векторов a и b к произведению их модулей |a| и |b|.

Модули находят через корень из суммы квадратов координат. Пример: для a = {3; 4} и b = {4; 3} скалярное произведение 3 · 4 + 4 · 3 = 24, |a| = √(3² + 4²) = 5, |b| = 5, cos α = 0,96.

Онлайн-калькулятор находит угол между векторами в двухмерном и трёхмерном пространстве. Результат выдаётся в градусах и радианах. \[ \cos\alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|} \] \[ \alpha = \arccos\left(\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}\right) \] Выберите пространство, введите координаты a и b и нажмите Вычислить.

Калькулятор находит угол между двумя векторами по их координатам на плоскости или в пространстве. Выберите двухмерное или трёхмерное пространство, введите координаты a и b и нажмите Вычислить. Ответ даётся в градусах и радианах.

Скалярное произведение на плоскости: \[ \vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y \]. Модули: \[ |\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}, \] \[ |\vec b| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} \]. Угол: \[ \cos\alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}, \] \[ \alpha = \arccos\left(\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}\right) \]. Пример: a = {3; 4}, b = {4; 3} дают cos α = 24/25 = 0,96.

В 3D к скалярному произведению добавляется слагаемое a_z b_z, а в модуль - z². Результат всегда лежит между 0° и 180° - это наименьший угол между направлениями векторов.

Частые вопросы

Чем угол отличается от направленного угла? Здесь считается наименьший угол между направлениями, без учёта порядка обхода. Поворот от a к b и от b к a дают один и тот же численный ответ.

Что если один вектор нулевой? Модуль нулевого вектора равен 0, деление в формуле cos α невозможно, поэтому угол не определён. Калькулятор покажет сообщение об ошибке.

Когда угол 90°? При ортогональности: скалярное произведение равно нулю, например для (1; 0) и (0; 1) на плоскости.

Как проверить ответ вручную? Найдите a·b, |a|, |b|, разделите произведение на модуль и примените arccos. Для (3; 4) и (4; 3): 24/(5·5) = 0,96.